So berechnen Sie die Länge der Mediane eines Dreiecks unter Berücksichtigung der drei Seitenlängen

• Der Median in einem Dreieck

• Definition: Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.
• Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich in einem einzigen Mittelpunkt, dem sogenannten Schwerpunkt, treffen.
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  Die drei Mediane des Dreiecks

• Im Dreieck △ABC ist m_a der Median, der den Scheitelpunkt A mit der Mitte der Seite BC verbindet, m_b ist der Median, der den Scheitelpunkt B mit der Mitte der Seite AC verbindet, und m_c ist der Median, der den Scheitelpunkt C mit der Mitte der Seite AB verbindet. Alle Mediane schneiden sich im Punkt G, dem Schwerpunkt.
• Der Punkt G teilt die Längen der drei Mediane wie folgt:

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Satz von Apollonius

• In einem Dreieck △ABC, für das wir die Längen der Seiten „a“, „b“ und „c“ kennen und die gegenüberliegenden Eckpunkte A, B bzw. C haben, gibt es eine Beziehung zwischen den Längen der Seiten und den Längen der Mediane m_a, m_b und m_c, aus denen der Median m_a gezogen wird Scheitelpunkt A zur Seite „a“, der Median m_b wird vom Scheitelpunkt B zur Seite „b“ gezeichnet und m_c wird vom Scheitelpunkt C zur Seite „c“ gezeichnet:

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

» Satz des Apollonius und die Mediane in einem Dreieck. Formel. Beweis

• Beispiel Nr. 1

• Zwei der drei Mediane sollten in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sein. Berechnen wir diese drei Mediane m_a, m_b und m_c und prüfen wir, ob zwei davon gleich sind oder nicht. Die Seitenlängen sind wie folgt angegeben: a = 10, b = 6 und c = 10.
• Wenden Sie den Satz von Apollonius an und lösen Sie nach den Medianen auf:

Wir können sehen, dass zwei der Mediane gleich sind, diejenigen, die den kongruenten Seiten entsprechen, m_a ≅ m_c

• Beispiel Nr. 2

• Die Länge eines Medians in einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 30 Grad, der der Hypotenuse entspricht, sollte halb so lang sein wie die Länge der Hypotenuse. Die Seitenlängen in diesem Dreieck sind wie folgt angegeben: a = 10 (Hypotenuse), b = 5 und c = 8,66025. Berechnen wir den Median m_a dieses rechtwinkligen Dreiecks, der der Hypotenuse entspricht, und überprüfen wir die oben genannte Regel.
• Wenden Sie den Satz von Apollonius an und lösen Sie nach den Medianen auf:

Wir können sehen, dass die Länge des Medians, der der Hypotenuse entspricht, m_a, die Hälfte der Länge der Hypotenuse beträgt.

• Beispiel Nr. 3

• Berechnen wir die Mediane m_a, m_b und m_c eines Dreiecks, wenn alle Seitenlängen gegeben sind: a = 10, b = 6 und c = 10.
• Wenden Sie den Satz von Apollonius an und lösen Sie nach den Medianen auf: