Satz des Pythagoras, Beweis mit einem Quadrat

• Satz des Pythagoras

• In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat:

• c² = a² + b²
• Wobei:
• a und b sind die Längen der beiden Katheten
• c ist die Länge der Hypotenuse

• Verallgemeinerter Satz des Pythagoras

• Der verallgemeinerte Satz des Pythagoras, auch Kosinussatz genannt, stellt eine Beziehung zwischen der Länge einer Seite eines gegebenen Dreiecks und den anderen beiden Seiten her, indem er den Kosinus des Winkels zwischen diesen beiden Seiten wie folgt verwendet:

c² = a² + b² - 2 × a × c × cos(∠C)

Wenn jedoch das Maß des Winkels ∠C m(∡C) = 90° => cos(90°) = 0 ist, wird die Formel des verallgemeinerten Satzes des Pythagoras zum klassischen Satz des Pythagoras:

c² = a² + b²

• » Kosinus und Arkuskosinus in einem rechtwinkligen Dreieck
• » Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras. Formel und Beweis

• 1. Wir bilden ein Quadrat mit der Seitenlänge L = a + b

• Wir platzieren in diesem Quadrat vier kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die Längen der Katheten dieser rechten Quadrate betragen a bzw. b, wie in der nebenstehenden Abbildung.
• Die Länge der vier Hypotenusen ist gleich c.
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  Demonstration des Satzes des Pythagoras mithilfe des Quadrats

• Die vier Dreiecke sind kongruent und die Winkelmaße α + β = 90°.
• Es stellt sich heraus, dass die Maße der Winkel γ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90° sind.
• Es stellt sich also heraus, dass das Polygon der Seite c ein Quadrat ist.

• 2. Wir berechnen die Fläche des großen Quadrats mit zwei Methoden

• Die Fläche des großen Quadrats, Fläche_L, kann am einfachsten durch Multiplikation seiner Seiten ermittelt werden:

Fläche_L = L × L = L² = (a + b)²

Die Fläche des großen Quadrats, Fläche_L, kann jedoch auch durch Addition der Flächen der geometrischen Formen erhalten werden, aus denen es besteht, d. h. der vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecke und des kleineren Quadrats mit der Seite c, das in der Mitte gebildet wird:

Fläche_L = 4 × ¹/₂ × a × b + c × c = 2 × a × b + c²

• 3. Wir setzen die beiden Beziehungen in Gleichheit:

• Beide Gleichungen stellen die Fläche des großen Quadrats Fläche_L dar, die auf unterschiedliche Weise berechnet wurde, sodass sie einander gleich sind.

2 × a × b + c² = (a + b)²

Klammer rückgängig machen:

2 × a × b + c² = a² + 2 × a × b + b²

Wir streichen den gemeinsamen Begriff „2 × a × b“ auf beiden Seiten der Gleichheit und erhalten den Satz des Pythagoras:

c² = a² + b²

• Warum ist der Satz des Pythagoras wichtig?

• Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks her.
• Durch Anwendung des Satzes des Pythagoras können wir bestimmen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist oder nicht.
• Der Satz des Pythagoras hat viele praktische Anwendungen: In der Geometrie ist er die Grundlage der Trigonometrie, er wird zur Berechnung der Abstände zwischen zwei Punkten auf einer Karte verwendet, er ist die Grundlage von Lokalisierungssystemen auf digitalen Karten oder zur Festlegung von Routen, er wird im Bauwesen und in der Architektur zur Konstruktion von 90-Grad-Winkeln verwendet und in der Physik und Technik zur Zerlegung von Kräften oder Geschwindigkeiten.

• Beispiel 1: Berechnung der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck

• Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten der Längen a = 3 und b = 4, berechnen wir die Länge der Hypotenuse, c.

• Beispiel 2: Wir prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist

• Wir haben ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 4, b = 7 und c = 8, prüfen wir, ob es ein rechtwinkliges Dreieck ist.
• Wir gehen davon aus, dass das Dreieck rechtwinklig ist, wenden den Satz des Pythagoras an und prüfen, ob er bestätigt ist.

Der Satz des Pythagoras ist nicht verifiziert, daher ist das Dreieck nicht rechtwinklig.