Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras. Formel und Beweis

Der Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras

Der Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras besagt, dass wir in jedem Dreieck △ABC diese drei Beziehungen zwischen den Längen der Seiten a, b und c und dem Kosinus der Winkel ∠A, ∠B und ∠C haben:

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• Wo:
• a = die Seite des Dreiecks gegenüber dem Winkel ∠A
• b = die Seite des Dreiecks gegenüber dem Winkel ∠B
• c = die Seite des Dreiecks gegenüber dem Winkel ∠C

Man nennt ihn auch den verallgemeinerten Satz des Pythagoras, weil er für alle Dreiecke gilt. Wenn der Winkel ∠A, ∠B oder ∠C ein rechter Winkel ist, ist cos(90°) = 0, wodurch der zusätzliche Teil verschwindet und der klassische Satz des Pythagoras übrig bleibt:

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b²

» Satz des Pythagoras, Beweis mit einem Quadrat

• Beweis des Kosinussatzes

• In jedem Dreieck △ABC, das nicht rechtwinklig ist, mit den Seitenlängen BC = a, AC = b und AB = c, zeichne vom Scheitelpunkt A die Senkrechte zur Seite BC, die BC im Punkt D schneidet. Die Längen der Seiten: AD = h_a, BD = a1 und CD = a2, wobei a1 + a2 = a.
• 

  Beweis des Kosinussatzes

Im rechtwinkligen Dreieck △ABD haben wir die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

Im rechtwinkligen Dreieck △ADC wenden Sie den Satz des Pythagoras an:

Ersetzen Sie h_a und a1 in der obigen Formel:

Im rechtwinkligen Dreieck △ABD wenden Sie den Satz von Pythagora an:

Ersetzen Sie ^{(h_a2 + a12)}/_c² in der letzten Formel von b²:

Indem wir die Senkrechten h_b und h_c zu den anderen beiden Seiten des Dreiecks zeichnen, könnten wir auf die gleiche Weise auch die anderen beiden Beziehungen des Kosinussatzes beweisen.

• Wann sollte dieser Satz verwendet werden?

• Der Kosinussatz könnte verwendet werden für:
• 1. Um die unbekannte Länge einer Seite in einem Dreieck zu finden, wenn wir die Längen der anderen beiden Seiten und das Maß des entgegengesetzten Winkels kennen.
• 2. Um das unbekannte Maß eines Winkels in einem Dreieck zu finden, wenn wir alle drei Seitenlängen kennen.
• Dazu schreiben Sie den Kosinussatz um, um den Kosinus des Winkels hervorzuheben, und wenden dann die Funktion arccos für beide Seiten der Gleichheit an.
• Since cos und arccos sind Umkehrfunktionen, arccos(cos(∡B)) = ∡B:

» Kosinus und Arkuskosinus in einem rechtwinkligen Dreieck

Der gleiche Prozess könnte verwendet werden, um die Formeln für die Maße der anderen beiden Winkel, ∠A und ∠C, zu demonstrieren.

• Berechnungsbeispiele

• Das Beispiel 1: Berechnung einer Seitenlänge, wenn der entgegengesetzte Winkel und die anderen beiden Seiten bekannt sind
• In einem Dreieck, in dem die Längen zweier Seiten gegeben sind, a = 5, c = 7, und das Maß des Winkels zwischen ihnen ∡B = 54° ist, berechnen wir die Länge der Seite b:
• Führen Sie die gegebenen Daten in eine der drei Gleichungen des Kosinussatzes ein.
• Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Funktion cos(54°) zu berechnen.
• b² = 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos(54°) = 74 - 70 × 0,5877852522925 = 74 - 41,144967660475 = 32,855032339525
• Die Quadratwurzel von b² = 32,855032339525 => b = 5,7319309433667 ≈ 5,73
• Das Beispiel 2: Berechnung des Winkelmaßes, wenn alle drei Seitenlängen bekannt sind
• In einem Dreieck, in dem die Seitenlängen a = 5, b = 5,73 und c = 7 sind, berechnen wir das Maß des Winkels ∠B:
• Führen Sie die gegebenen Daten in eine der drei Gleichungen ein, die für Winkel des Kosinussatzes neu geordnet wurden.
• Erinnern wir uns: a² - b² = (a + b) × (a - b).
• Verwenden Sie einen Taschenrechner, um die Funktion arccos() zu berechnen.
• m(∡B) = arccos(^{(52 + 72 - 5,732)} / _{(2 × 5 × 7)}) = arccos(^{(25 + (7 + 5,73) × (7 - 5,73)} / ₇₀) = arccos(^{(25 + 12,73 × 1,27)} / ₇₀) = arccos(⁴¹ / ₇₀) = arccos(0,5881014285714) = 53,977604748002° ≈ 53,98°.