Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras

Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras in einem ungleichseitigen Dreieck. Demonstration

Der Kosinussatz. Formel und ihr Beweis



Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras

Der Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras besagt, dass wir in jedem Dreieck △ABC diese drei Beziehungen zwischen den Längen der Seiten a, b und c und dem Kosinus der Winkel ∠A, ∠B oder ∠C haben:


  • a2 = b2 + c2 - 2 × b × c × cos(∠A)
  • b2 = a2 + c2 - 2 × a × c × cos(∠B)
  • c2 = a2 + b2 - 2 × a × b × cos(∠C)
  • Wobei:
  • a = die dem Winkel ∠A gegenüberliegende Seite des Dreiecks
  • b = die dem Winkel ∠B gegenüberliegende Seite des Dreiecks
  • c = die dem Winkel ∠C gegenüberliegende Seite des Dreiecks

Er wird auch als verallgemeinerter Satz des Pythagoras bezeichnet, da er für alle Dreiecke gilt. Wenn der Winkel ∠A, ∠B oder ∠C ein rechter Winkel ist, ist cos(90°) = 0, wodurch der zusätzliche Teil verschwindet und der Klassiker übrig bleibt - Der Satz des Pythagoras:


  • a2 = b2 + c2
  • b2 = a2 + c2
  • c2 = a2 + b2.

  • Beweis des Kosinussatzes

  • In jedem Dreieck △ABC, das nicht rechtwinklig ist, mit den Seitenlängen BC = a, AC = b und AB = c, zeichnen wir vom Scheitelpunkt A die Senkrechte auf die Seite BC, die BC im Punkt D schneidet. Wir notieren die Längen der Seiten AD = ha, BD = a1 und CD = a2, wobei a1 + a2 = a.
  • Beweis des Kosinussatzes

    Beweis des Kosinussatzes

  • Im rechtwinkligen Dreieck △ABD gelten die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

  • sin(∠B) = ha/c => ha = c × sin(∠B)
  • cos(∠B) = a1/c => a1 = c × cos(∠B)
  • Im rechtwinkligen Dreieck △ADC wenden wir den Satz des Pythagoras an:
  • b2 = ha2 + a22 <=>
  • b2 = ha2 + (a - a1)2
  • Ersetzen Sie ha und a1 in der obigen Formel:
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + (a - c × cos(∠B))2 <=>
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) + c2 × cos2(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (sin2(∠B) + cos2(∠B)) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2/c2 + a12/c2) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2 + a12)/c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • Im rechtwinkligen Dreieck △ABD ha2 + a12 = c2 (Satz des Pythagoras) =>
  • (ha2 + a12)/c2 = 1 =>
  • b2 = c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • cos(∠B) = (a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)
  • Wenden Sie die Funktion arccos auf beide Seiten der Gleichheit an:
  • arccos(cos(∠B)) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)) =>
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • Das gleiche Verfahren wird zur Berechnung der Maße der Winkel ∠A und ∠C verwendet.