Die Formel von Heron, ein Beweis mit dem Satz des Pythagoras

Die Formel von Heron. Ein Schritt-für-Schritt-Beweis mit dem Satz des Pythagoras

Die Formel von Heron. Beweis



  • Die Heron-Formel

  • Angesichts der Längen seiner drei Seiten kann die Fläche eines Dreiecks mit der Heron-Formel berechnet werden:

  • Fläche2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Wobei::
  • a, b und c sind die Längen der drei Seiten des Dreiecks
  • s ist der Halbumfang des Dreiecks s = P/2
  • P ist der Umfang des Dreiecks, P = a + b + c
  • s = (a + b + c)/2

  • Schritt-für-Schritt-Beweis der Heron-Formel unter Verwendung des Satzes von Pythagora

  • Betrachten Sie ein Dreieck △ABC mit seinen Seiten BC = a, AC = b und AB = c. Zeichne die Höhe vom Scheitelpunkt A, gegenüber der Seite „a“, AD ⊥ BC, D ∈ BC, die Länge von AD = h. AD teilt die Basis „a“ in zwei Segmente mit den Längen BD = x und CD = a - x.
  • Dreieck △ABC und die Formel von Heron

    Dreieck △ABC und die Formel von Heron


Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck △ADB an:


  • h2 + x2 = c2
  • h2 = c2 - x2

Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck △ADC an:


  • h2 + (a - x)2 = b2
  • h2 = b2 - (a - x)2

Setzen Sie die beiden Ausdrücke für h2 gleich und lösen Sie nach dem Segment „x“ auf:


  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2)
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)

Setzen Sie „x“ wieder in die Formel von h2 ein und berechnen Sie die Höhe „h“:


  • h2 = c2 - x2
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • h2 = c2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a)2

Wandeln Sie die beiden "Brüche" in einen gemeinsamen Nenner um


  • h2 = c2 × (2 × a)2/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2)/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2

Zerlegen Sie den Ausdruck mithilfe der Quadratdifferenzregel, c2 - x2 = (c - x) × (c + x)


  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2

Wenden Sie die abgekürzten Berechnungsformeln an:
(a2 - 2 × a × c + c2) = (a - c)2
(a2 + 2 × a × c + c2) = (a + c)2


  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2

Ersetzen Sie h2 in der Flächenformel:


  • Fläche = 1/2 × a × h
  • Area2 = 1/4 × a2 × h2
  • Fläche2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2)
  • Fläche2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)

Verwenden Sie den Halbumfang s = (a + b + c)/2, um die Faktoren der letzten Formel der Fläche von oben neu zu schreiben:


  • s = (a + b + c)/2
  • a + b + c = 2 × s
  • b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)

Schreiben Sie die letzte Formel für die Fläche neu:


  • Fläche2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c)
  • Fläche2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Die Heron-Formel

  • Beispiel: Berechnen wir die Fläche eines Dreiecks mit der Heron-Formel

  • Lassen Sie uns die Fläche eines Dreiecks mit den Seitenlängen a = 12, b = 17 und c = 14 Einheiten berechnen.

  • Fläche2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 21,5 × (21,5 - 12) × (21,5 - 17) × (21,5 - 14) =
  • 21,5 × 9,5 × 4,5 × 7,5 =
  • 6.893,4375 ≈
  • 6.893,44

Fläche ≈ 83,026727624302 ≈ 83,03 Quadrateinheiten