Wie lässt sich die Formel zur Berechnung des Radius des umschriebenen Kreises eines Dreiecks beweisen?

• Berechnungsformel für den Radius des umschriebenen Kreises eines Dreiecks

• Um R, den Radius des Kreises, der das Dreieck △ABC umschreibt, zu berechnen, wenden Sie die Formel an:
• 

  Umschriebener Kreis eines Dreiecks, mit Radius R

• R = ^{(a × b × c)} / _{(4 × Fläche)}
• Wo:
• a, b und c sind die Längen der drei Seiten des Dreiecks △ABC
• R ist der Radius des umschriebenen Kreises des Dreiecks △ABC
• Fläche ist die Fläche des Dreiecks △ABC

» So finden Sie den Mittelpunkt des umschriebenen Kreises eines Dreiecks

• Wie beweist man die Berechnungsformel des Radius des umschriebenen Kreises?

• Wir verwenden den Sinussatz und die Trigonometrische Formel der Fläche eines Dreiecks, um die obige Formel des Radius zu beweisen.
• 1) Der Sinussatz legt die Beziehung zwischen den Längen der Seiten a, b und c des Dreiecks △ABC und den Sinuswerten der entgegengesetzten Winkel ∠A, ∠B und ∠C fest:

• [1] ^a / _sin(∠A) = ^b / _sin(∠B) = ^c / _sin(∠C) = 2 × R
• Wo:
• R ist der Radius des umschriebenen Kreises des Dreiecks △ABC
• a, b und c sind die Längen der drei Seiten des Dreiecks △ABC
• ∠A, ∠B und ∠C sind die Winkel des Dreiecks △ABC

» Sinussatz in einem Dreieck, Beweis auf dem umschriebenen Kreis

• 2) Die trigonometrische Flächenformel besagt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus den Längen zweier Seiten des Dreiecks und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist:
• 

  Wie beweist man die Berechnungsformel des Radius des umschriebenen Kreises?

• [2] Fläche = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)
• Wo:
• b und c sind die Längen von zwei Seiten des Dreiecks △ABC
• ∠A ist der Winkel zwischen den Seiten mit den Längen b und c

» Wie berechnet man die Fläche eines Dreiecks anhand der Längen zweier Seiten und des Winkels zwischen ihnen? Trigonometrische Formel

Aus der Beziehung [1] des Sinussatzes können wir die Formel für den Sinus des Winkels ∠A ableiten:

[3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}

Ersatz für sin(∠A) in der Beziehung [2] der trigonometrischen Formel der Fläche:

Lösen Sie die Fläche in der obigen Beziehung nach R auf, und damit ist die Berechnungsformel für den Radius des umschriebenen Kreises eines Dreiecks bewiesen:

R = ^{a × b × c}/_{(4 × Fläche)}