Sinus und Arkussinus in einem rechtwinkligen Dreieck

• Definitionen

• Definition 1: Der Sinus - In einem rechtwinkligen Dreieck stellt der Sinus eines Winkels das Verhältnis der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse dar.
• sin(∠A) = ^a/_b
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  Sinus und Arkussinus

• Definition 2: Arcsin (der Arkussinus) - Dies ist die Umkehrung der Standard-Sinus-Mathematikfunktion. Während die Sinusfunktion einen Winkel annimmt und das entsprechende Verhältnis zurückgibt, nimmt die Arkussinusfunktion ein Verhältnis an und gibt den entsprechenden Winkel zurück.
• Da sin und arcsin Umkehrfunktionen sind, ist arcsin(sin(∡A)) = ∡A. Wenn wir die Funktion arcsin auf die obige Gleichung anwenden:
• sin(∡A) = ^a/_b => arcsin(sin(∡A)) = arcsin(^a/_b) <=>
• ∡A = arcsin(^a/_b) =>
• arcsin(^a/_b) = Maß des Winkels ∡A

• Der Sinus der Zusatzwinkel

• Definition: Zwei Winkel ergänzen sich, wenn die Summe ihrer Maße 180 Grad (π Bogenmaß) beträgt.
• Beispiel: Ein Winkel von 110° ergänzt den Winkel von 70°, denn 110° + 70° = 180°.
• Ergänzungswinkel-Sinusformel:

sin(180° - θ) = sin(θ)

• Wie beweisen wir diese Formel?
• Auf dem System orthogonaler Achsen xOy haben wir den Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r.
• Wir wählen den Punkt A auf dem Kreis so, dass das Maß des Winkels, den das Segment OA mit der Achse Ox bildet, gleich θ ist. C ist die Projektion von Punkt A auf die Achse Ox, d. h. AC steht senkrecht auf Ox. => Im rechtwinkligen Dreieck △AOC ist das Maß des Winkels ∡AOC m(∡AOC) = θ.
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  Der Sinus der Zusatzwinkel

• Wir wählen Punkt B auf dem Kreis so, dass das Maß des Winkels, den das Segment OB mit der Achse Ox bildet, gleich (180° - θ) ist. D ist die Projektion von Punkt B auf der Ox-Achse, d. h. BD steht senkrecht auf Ox. => Im rechtwinkligen Dreieck △BOD ist das Maß des Winkels ∡BOD m(∡BOD) = θ.
• Rechtwinklige Dreiecke △AOC und △BOD sind kongruent (Winkel, θ, Hypotenuse, r) => AC kongruent zu BD, AC ≅ BD.
• Die Sinuswerte der Winkel ∡AOC und ∡BOC sind:

Aber BD = AC (sie haben die gleiche Länge, da sie kongruente Segmente sind und in Bezug auf Ox in ähnlichen Quadranten liegen).

• => sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = ^AC/_r = sin(θ)
• => sin(180° - θ) = sin(θ)

• Berechnungsbeispiele

• Beispiel 1: Berechnung des Sinus
• In einem rechtwinkligen Dreieck, das das Maß des Winkels ∡B = 90°, die Länge der Seite b = 10 (die Seite gegenüber dem Winkel ∡B) und die Länge der Seite a = 4 (die Seite gegenüber dem Winkel ∡A) hat, wird der Sinus des Winkels ∠A wie folgt berechnet:
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  Sinus und Arkussinus

sin(∠A) = ^a/_b = ⁴/₁₀ = ²/₅ = 0,4

• Beispiel 2: Berechnung des Arkussinus
• In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkelmaß ∡B = 90°, der Länge der Seite b = 10 (der dem Winkel ∡B gegenüberliegenden Seite) und der Länge der Seite a = 4 (der dem Winkel ∡A gegenüberliegenden Seite) wird das Winkelmaß ∡A wie folgt berechnet:
• arcsin(sin(∠A)) = Maß des Winkels ∡A = arcsin(^a/_b) = arcsin(⁴/₁₀) = arcsin(²/₅) = arcsin(0,4) = 23,578178478202° ≈ 23,58°.