Der Satz des Apollonius. Formel und Beweis

• Der Median in einem Dreieck

• Definition: Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet.
• Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich in einem einzigen Mittelpunkt, dem sogenannten Schwerpunkt, treffen.
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  Die drei Mediane des Dreiecks

• Im Dreieck △ABC ist m_a der Median, der den Scheitelpunkt A mit der Mitte der Seite BC verbindet, m_b ist der Median, der den Scheitelpunkt B mit der Mitte der Seite AC verbindet, und m_c ist der Median, der den Scheitelpunkt C mit der Mitte der Seite AB verbindet. Alle Mediane schneiden sich im Punkt G, dem Schwerpunkt.
• Der Punkt G teilt die Längen der drei Mediane wie folgt:

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Satz von Apollonius

• In einem Dreieck △ABC, für das wir die Längen der Seiten „a“, „b“ und „c“ kennen und die gegenüberliegenden Eckpunkte A, B bzw. C haben, gibt es eine Beziehung zwischen den Längen der Seiten und den Längen der Mediane m_a, m_b und m_c, aus denen der Median m_a gezogen wird Scheitelpunkt A zur Seite „a“, der Median m_b wird vom Scheitelpunkt B zur Seite „b“ gezeichnet und m_c wird vom Scheitelpunkt C zur Seite „c“ gezeichnet:

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

• Beweis des Satzes von Apollonius

• Wir beweisen den Satz von Apollonius mithilfe des Kosinussatzes, auch Verallgemeinerter Satz des Pythagoras genannt, der auch zur Berechnung der Winkelmaße in einem Dreieck verwendet wird.
• » Kosinussatz oder der verallgemeinerte Satz des Pythagoras. Formel und Beweis
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  Die drei Mediane des Dreiecks Beweis des Satzes von Apollonius

• Der Median AM mit der Länge m_a teile die Seite BC mit der Länge „a“ in zwei gleiche Teile mit der Länge BM = CM = ^a/₂. Auch die Längen von AB = c, AC = b, BC = a.
• Das Maß des Winkels sei ∡AMB = θ. Da die Summe zweier Winkel auf einer Geraden 180° beträgt, ist der angrenzende Winkel ∡AMC = 180° - θ.

• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• » Kosinus und Arkuskosinus in einem rechtwinkligen Dreieck

Wenden Sie den Kosinussatz auf das Dreieck △ABM an und achten Sie darauf, auch den Winkel ∡AMB = θ in die Formel einzubeziehen:

• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ)
• => [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)

Wenden Sie den Kosinussatz auf das Dreieck △ACM an und achten Sie darauf, auch den Winkel ∡AMC = 180° - θ in die Formel einzubeziehen:

• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• Ersatz für den Ausdruck: cos(180° - θ) = - cos(θ)
• Die anfängliche obige Beziehung wird:
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)

• Fügen Sie die beiden Gleichungen [1] und [2] zusammen. Die Begriffe „m_a × a × cos(θ)“ und „- m_a × a × cos(θ)“ heben sich gegenseitig auf:

b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) - Satz von Apollonius

• Berechnungsbeispiel

• Lassen Sie uns die Mediane m_a, m_b und m_c eines Dreiecks berechnen, wenn alle Seitenlängen gegeben sind: a = 12, b = 10 und c = 8.
• Wenden Sie den Satz von Apollonius an und lösen Sie nach den Medianen auf: