Kosinus und Arkuskosinus in einem rechtwinkligen Dreieck

• Definitionen

• Definition 1: Kosinus - In einem rechtwinkligen Dreieck stellt der Kosinus eines Winkels das Verhältnis der an den Winkel angrenzenden Seite zur Hypotenuse dar.
• cos(∠A) = ^c/_b
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  Kosinus und Arkuskosinus

• Definition 2: Arccos (der Arkuskosinus) - Dies ist die Umkehrung der standardmäßigen mathematischen Kosinusfunktion. Während die Kosinusfunktion einen Winkel annimmt und das entsprechende Verhältnis zurückgibt, nimmt die Arccos-Funktion ein Verhältnis an und gibt den entsprechenden Winkel zurück.
• Da cos und arccos Umkehrfunktionen sind, gilt arccos(cos(∡A)) = ∡A. Wenn wir die Funktion arccos auf die obige Gleichung anwenden:
• cos(∡A) = ^c/_b => arccos(cos(∡A)) = arccos(^c/_b) <=>
• ∡A = arccos(^c/_b) =>
• arccos(^c/_b) = Maß des Winkels ∡A

• Ergänzungswinkel Kosinus

• Definition: Zwei Winkel ergänzen sich, wenn die Summe ihrer Maße 180 Grad (π Bogenmaß) beträgt.
• Beispiel: Ein Winkel von 120° ergänzt den Winkel von 60°, denn 120° + 60° = 180°.
• Ergänzende Winkelkosinusformel:

cos(180° - θ) = - cos(θ)

• Wie beweisen wir diese Formel?
• Auf dem System orthogonaler Achsen xOy haben wir den Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r.
• Wir wählen den Punkt A auf dem Kreis so, dass das Maß des Winkels, den das Segment OA mit der Achse Ox bildet, gleich θ ist. C ist die Projektion von Punkt A auf die Achse Ox, d. h. AC steht senkrecht auf Ox. => Im rechtwinkligen Dreieck △AOC ist das Maß des Winkels ∡AOC m(∡AOC) = θ.
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  Ergänzungswinkel Kosinus

• Wir wählen Punkt B auf dem Kreis so, dass das Maß des Winkels, den das Segment OB mit der Achse Ox bildet, gleich (180° - θ) ist. D ist die Projektion von Punkt B auf der Ox-Achse, d. h. BD steht senkrecht auf Ox. => Im rechtwinkligen Dreieck △BOD ist das Maß des Winkels ∡BOD m(∡BOD) = θ.
• Rechtwinklige Dreiecke △AOC und △BOD sind kongruent (Winkel, θ, Hypotenuse, r) => OC kongruent zu OD, OC ≅ OD.
• Die Kosinuswerte der Winkel ∡AOC und ∡BOC sind:

Aber OD = - OC (sie haben die gleiche Länge, da sie kongruente Segmente sind, liegen aber in Bezug auf Ox in unterschiedlichen Quadranten).

• => cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = - ^OC/_r = - cos(θ)
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)

• Berechnungsbeispiele

• Beispiel 1: Berechnung des Kosinus
• In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkelmaß ∡B = 90°, der Seitenlänge b = 10 und der Seitenlänge c = 6 wird der Kosinus des Winkels ∠A wie folgt berechnet:
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  Kosinus und Arkuskosinus

cos(∠A) = ^c/_b = ⁶/₁₀ = ³/₅ = 0,6