Kosinus und Arkuskosinus in einem rechtwinkligen Dreieck
Kosinus und Arkuskosinus. Was sind sie und wie berechnet man sie?
Definitionen und Berechnungen Kosinus und Arkuskosinus
Definitionen
- Definition 1: Der Kosinus – In einem rechtwinkligen Dreieck stellt der Kosinus eines Winkels das Verhältnis der an den Winkel angrenzenden Seite zur Hypotenuse dar.
- cos(∠A) = c/b
Kosinus und Arkuskosinus
- Definition 2: Arccos (der Arkuskosinus) – Dies ist die Umkehrung der standardmäßigen mathematischen Kosinusfunktion. Während die Kosinusfunktion einen Winkel annimmt und das entsprechende Verhältnis zurückgibt, nimmt die Arccos-Funktion ein Verhältnis an und gibt den entsprechenden Winkel zurück.
- Da cos und arccos Umkehrfunktionen sind, wenn wir die Funktion arccos auf die obige Gleichung anwenden:
- arccos(cos(∡A)) = ∡A
- cos(∡A) = c/b => arccos(cos(∡A)) = arccos(c/b) <=>
- ∡A = arccos(c/b) =>
- arccos(c/b) = Winkelmaß ∡A
Berechnungsbeispiele
- Beispiel 1: Berechnung des Kosinus
- In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkelmaß ∡B = 90° ist die Seitenlänge b = 10 und die Seitenlänge c = 6, der Kosinus des Winkels ∠A wird wie folgt berechnet:
- cos(∠A) = c/b = 6/10 = 3/5 = 0,6.
- Beispiel 2: Berechnung des Arkuskosinus
- In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkelmaß ∡B = 90°, der Seitenlänge b = 10 und der Seitenlänge c = 6 wird das Winkelmaß ∡A wie folgt berechnet:
- arccos(cos(∠A)) = Winkelmaß ∡A = arccos(c/b) = arccos(6/10) = arccos(3/5) = arccos(0.6) = 53,1301024° ≈ 53,13°.