Lösen Sie das gleichseitige Dreieck anhand der Längen seiner drei Seiten: 12, 12 und 12. Dreiecksrechner: Winkel, Fläche, (Halb-)Umfang, Höhen, Mediane, Kreisradien

• Das angegebene Dreieck wird im Folgenden Schritt für Schritt gelöst, mit vollständigen Erklärungen der verwendeten Formeln, klaren Erklärungen zu den verwendeten Begriffen und mit anschaulichen Bildern.
• Am Ende werden alle berechneten Daten des Dreiecks in einem Abschnitt zusammengefasst.
• Die Reihenfolge der Schritte zur Lösung des Dreiecks: 1) Berechnung des Umfangs, 2) des Halbumfangs, 3) der Winkelmaße, 4) der Fläche – berechnet mit zwei Methoden, 5) die Längen der drei Höhen des Dreiecks, 6) die Längen der drei Mittellinien des Dreiecks, 7) der Radius des eingeschriebenen Kreises und 8) der Radius des umschriebenen Kreises.

Sonderfall. Gleichseitiges Dreieck

• Dies ist ein gleichseitiges Dreieck, dessen drei Seitenlängen gleich sind.
• Die Maße seiner drei Winkel betragen 60°.

Diese Formeln werden aus dem Kosinussatz (oder dem verallgemeinerten Satz des Pythagoras) abgeleitet.

• m(∡A) = arccos(^{(b2 + c2 - a2)} / _{(2 × b × c)})
• m(∡B) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)})
• m(∡C) = arccos(^{(a2 + b2 - c2)} / _{(2 × a × b)})
• Dabei:
• a = die dem Winkel ∠A gegenüberliegende Seite des Dreiecks
• b = die dem Winkel ∠B gegenüberliegende Seite des Dreiecks
• c = die dem Winkel ∠C gegenüberliegende Seite des Dreiecks

• Warum diese Formel? Beweis des Kosinussatzes

• In jedem Dreieck △ABC, das nicht rechtwinklig ist, mit den Seitenlängen BC = a, AC = b und AB = c, zeichnen wir vom Scheitelpunkt A die Senkrechte auf die Seite BC, die BC im Punkt D schneidet. Wir notieren die Längen der Seiten AD = h_a, BD = a1 und CD = a2, wobei a1 + a2 = a.
• 

  Beweis des Kosinussatzes

• Im rechtwinkligen Dreieck △ABD gelten die folgenden trigonometrischen Beziehungen:
• sin(∠B) = ^h_a/_c => h_a = c × sin(∠B)
• cos(∠B) = ^a1/_c => a1 = c × cos(∠B)
• Im rechtwinkligen Dreieck △ADC wenden wir den Satz des Pythagoras an:
• b² = h_a² + a2² <=>
• b² = h_a² + (a - a1)²

• ---

• Ersetzen Sie h_a und a1 in der obigen Formel:
• b² = c² × sin²(∠B) + (a - c × cos(∠B))² <=>
• b² = c² × sin²(∠B) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) + c² × cos²(∠B) <=>
• b² = c² × (sin²(∠B) + cos²(∠B)) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• b² = c² × (^h_a2/_c² + ^a12/_c²) + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• b² = c² × ^{(h_a2 + a12)}/_c² + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>

• ---

• Im rechtwinkligen Dreieck △ABD h_a² + a1² = c² (Satz des Pythagoras) =>
• ^{(h_a2 + a12)}/_c² = 1 =>

• ---

• b² = c² + a² - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
• cos(∠B) = ^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)}
• Wenden Sie die Funktion arccos auf beide Seiten der Gleichheit an:
• arccos(cos(∠B)) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)}) =>
• m(∡B) = arccos(^{(a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a × c)})
• Das gleiche Verfahren wird zur Berechnung der Maße der Winkel ∠A und ∠C verwendet.

• Die letzten drei Definitionen: π. Bogenmaß. Grad

• Definition: π stellt das konstante Verhältnis des Kreisumfangs C zu seinem Durchmesser d dar (d = 2 × r, wobei r der Radius des Kreises ist), das ungefähr 3,14159 beträgt und üblicherweise als Bruchteil ²²/₇ geschätzt wird.
  π = ^C/_d = ^C/_{(2 × r)}
• 

  Winkelmessung: Bogenmaß

• Definition: Ein Bogenmaß ist eine Standardeinheit für die Winkelmessung. Ein Bogenmaß ist gleich dem Winkel, der entsteht, wenn die Länge des Kreisbogens gleich dem Radius desselben Kreises ist. Der Umfang (die Länge) eines Kreises (jedes Kreises) hat genau 2π Bogenmaß. 1 Bogenmaß entspricht ungefähr 57,296° (Grad). Ein Winkel von 360° = 2π Bogenmaß, 180° = π Bogenmaß, 90° = ^π/₂ Bogenmaß, 45° = ^π/₄ Bogenmaß.
• Definition: Winkel werden normalerweise in Grad (°) gemessen. Ein Grad ist eine Standardeinheit zur Winkelmessung. Der Winkel, den ein vollständiger Kreis bildet, beträgt 360°. Ein stumpfer Winkel liegt zwischen (90° und 180°). Ein rechter Winkel beträgt 90°. Ein spitzer Winkel liegt zwischen (0° und 90°).

• ∡A = 60°
• ∡B = 60°
• ∡C = 60°

• Diese Methode erfordert mehr Schritte, um zum Ergebnis zu gelangen als die zweite.
• Theoretisch kommen beide Berechnungsformeln zum exakt gleichen Ergebnis. In der Praxis ist es jedoch bei der Verwendung von Berechnungstools, die Rundungen und Näherungen beinhalten, besser, die Berechnungsmethode zu verwenden, die weniger Schritte und weniger Näherungen erfordert.
• Diese Methode wird hier zu Demonstrationszwecken vorgestellt. Wir berechnen die Fläche mit der zweiten Methode, die weniger Schritte und weniger Näherungen erfordert.

• Die klassische Formel:

• Fläche = ¹/₂ × a × h_a
• Dabei:
• a = die dem Winkel ∠A gegenüberliegende Seite des Dreiecks
• h_a = die Höhe AD vom Scheitelpunkt A zur Seite „a“ (BC), wobei D zu der Linie gehört, die das Segment BC enthält.
• 

  Höhe h_a, ausgedrückt als Funktion der Seite „b“ und des Sinus des Winkels C

• == Aber wir kennen die Höhe h_a nicht. Wie gehen wir vor? ==
• Mit Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck △ADC (∡D = 90°), rechts von der Höhe h_a:
• sin(∠C) = ^h_a / _b
• Daraus folgt, dass h_a = b × sin(∠C).
• Setzen Sie die Höhe h_a in die klassische Flächenformel ein und erhalten Sie:

• Trigonometrische Formel:

• Fläche = ¹/₂ × a × b × sin(∠C)

Hinweis: Die Fläche wird mit der 2. Methode berechnet, die weniger Schritte und Näherungen erfordert.

• Herons Formel

• Angesichts der Längen seiner drei Seiten kann die Fläche eines Dreiecks mit der Heron-Formel berechnet werden:
• Fläche² = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
• Dabei:
• a, b und c sind die Längen der drei Seiten des Dreiecks
• s ist der Halbumfang des Dreiecks, bereits oben berechnet

• Schritt-für-Schritt-Pythagoras-Beweis der Heron-Formel

• Betrachten Sie ein Dreieck △ABC mit seinen Seiten BC = a, AC = b und AB = c. Zeichnen Sie die Höhe vom Scheitelpunkt A gegenüber der Seite „a“, AD ⊥ BC, D ∈ BC, AD = h. Ad teilt die Basis „a“ in zwei Segmente, BD = x und CD = a - x.
• 

  Das Dreieck △ABC für Herons Formel

• Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck △ADB an:
• h² + x² = c² =>
• h² = c² - x²
• Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf das rechtwinklige Dreieck △ADC an:
• h² + (a - x)² = b² =>
• h² = b² - (a - x)²
• Setzen Sie die beiden Ausdrücke für h² gleich und lösen Sie nach dem Segment „x":
• c² - x² = b² - (a - x)² <=>
• c² - x² = b² - (a² - 2 × a × x + x²) <=>
• c² - x² = b² - a² + 2 × a × x - x² <=>
• c² = b² - a² + 2 × a × x <=>
• 2 × a × x = a² + c² - b² <=>
• x = ^{(a2 + c2 - b2)}/_{(2 × a)}
• Setzen Sie „x“ wieder in die Formel von h² ein und berechnen Sie die Höhe „h“:
• h² = c² - x² <=>
• h² = c² - (^{(a2 + c2 - b2)}/_{(2 × a)})²
• Zerlegen Sie den Ausdruck mithilfe der Quadratdifferenzregel in Faktoren, c² - x² = (c - x) × (c + x):
• h² = ^{((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2)} / _{(2 × a)})² <=>
• h² = ^{(2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b)} / _{(2 × a)²} <=>
• h² = ^{(a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)} / _{(2 × a)²}
• Ersetze h² in die Fläche der Dreiecksformel:
• Fläche = ¹/₂ × a × h => Fläche² = ¹/₄ × a² × h² =>
• Fläche² = ¹/₄ × a² × ^{(a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)} / _{(4 × a²)} <=>
• [1] Fläche² = ¹/₁₆ × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)
• Verwenden Sie den Halbumfang s = ^{(a + b + c)}/₂, um die Faktoren der Formel [1] oben auszudrücken:
• => a + b + c = 2 × s
• => b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
• => a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
• => a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)
• Formel [1] neu schreiben:
• Fläche² = ¹/_2⁴ × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c) <=>
• Fläche² = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Herons Formel

Fläche ≈ 62,35382907248 ≈ 62,35 Quadrateinheiten

• Definition: Die Höhe eines Dreiecks ist ein gerades Liniensegment, das von einem Scheitelpunkt senkrecht (in einem 90-Grad-Winkel) zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird. Jedes Dreieck hat drei Höhen. Alle drei Höhen kreuzen sich immer in einem einzigen Punkt, dem sogenannten Orthozentrum.
• 

  Die drei Höhen des Dreiecks

• Im Dreieck △ABC ist h_a die Höhe ausgehend vom Scheitelpunkt A, senkrecht zur Seite BC, h_a ⊥ BC. h_b ist die Höhe ausgehend vom Scheitelpunkt B, senkrecht zur Seite AC, h_b ⊥ AC. h_c beginnt am Scheitelpunkt C, senkrecht zur Seite AB, h_c ⊥ AB. Sie alle schneiden sich im Punkt H, dem Orthozentrum.

• ---

• Wenn wir die Fläche und die Seiten des Dreiecks kennen, können wir die Höhen ha, hb und hc von den Eckpunkten A, B und C zu den Seiten a, b und c berechnen.
• Ausgehend von der klassischen Flächenformel:
• Fläche = ¹/₂ × a × h_a =>
• h_a = ^{2 × Fläche} / _a ≈ 10,392304845413 ≈ 10,39
• Fläche = ¹/₂ × b × h_b =>
• h_b = ^{2 × Fläche} / _b ≈ 10,392304845413 ≈ 10,39
• Fläche = ¹/₂ × c × h_c =>
• h_c = ^{2 × Fläche} / _c ≈ 10,392304845413 ≈ 10,39

• Definition: Ein Median eines Dreiecks ist ein Liniensegment, das einen Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Mediane, die sich in einem einzigen Mittelpunkt, dem sogenannten Schwerpunkt, treffen.
• 

  Die drei Mittelwerte des Dreiecks

• Im Dreieck △ABC ist m_a der Median, der den Scheitelpunkt A mit der Mitte der Seite BC verbindet, m_b ist der Median, der den Scheitelpunkt B mit der Mitte der Seite AC verbindet, und m_c ist der Median, der den Scheitelpunkt C mit der Mitte der Seite AB verbindet. Sie schneiden sich alle im Punkt G, dem Schwerpunkt.
• Der Schwerpunkt G teilt die Längen der drei Mediane wie folgt:
• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Satz des Apollonius

• == Beweis des Satzes von Apollonius am Ende des Abschnitts. ==
• In einem Dreieck △ABC, für das wir die Längen der Seiten „a“, „b“ und „c“ kennen und die gegenüberliegenden Eckpunkte A, B bzw. C haben, besteht die Beziehung zwischen den Längen der Seiten und den Längen der Mediane m_a, m_b und m_c, wobei m_a vom Scheitelpunkt A zur Seite „a“, dem Median, gezogen wird m_b wird vom Scheitelpunkt B zur Seite „b“ gezeichnet, und m_c wird vom Scheitelpunkt A zur Seite „c“ gezeichnet:
• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²= 108 =>
• Der Median m_a ≈ 10,392304845413 ≈ 10,39

• ---

• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²= 108 =>
• Der Median m_b ≈ 10,392304845413 ≈ 10,39

• ---

• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²= 108 =>
• Der Median m_c ≈ 10,392304845413 ≈ 10,39

• ---

• Beweis des Satzes von Apollonius

• Wir beweisen den Satz von Apollonius mithilfe des Kosinussatzes, den wir oben bewiesen haben, als wir die Winkelmaße berechnet haben.
• 

  Die drei Mittelwerte des Dreiecks

• Der Median AM mit der Länge m_a teile die Seite BC mit der Länge „a“ in zwei gleiche Teile mit der Länge BM = CM = ^a/₂. Auch AB = c, AC = b, BC = a.
• Das Maß des Winkels sei ∡AMB = θ. Da zwei Winkel auf einer Geraden addiert 180° ergeben, ist der benachbarte Winkel ∡AMC = 180° - θ.
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• Wenden Sie das Kosinusgesetz auf das Dreieck △ABM an und achten Sie darauf, auch den Winkel ∡AMB = θ in die Formel einzubeziehen:
• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ) =>
• [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)
• Wenden Sie das Kosinusgesetz auf das Dreieck △ACM an und achten Sie darauf, auch den Winkel ∡AMC = 180° - θ in die Formel einzubeziehen:
• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• cos(180° - θ) = - cos(θ)
• Die obige Beziehung wird:
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)
• Fügen Sie die beiden Gleichungen [1] und [2] zusammen. Die Terme m_a × ein × cos(θ) und - m_a × ein × cos(θ) heben sich gegenseitig auf:
• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²)

• Einführung

• Die Winkelhalbierende ist eine Halbrechte innerhalb des Winkels mit dem Ursprung an der Spitze, die mit den Seiten des Winkels zwei kongruente Winkel bildet. Jeder Punkt, der zur Winkelhalbierenden gehört, ist von beiden Seiten des Winkels gleich weit entfernt.
• 

  Winkelhalbierende

• In jedem Dreieck treffen die Winkelhalbierenden in einem Punkt zusammen, der der Mittelpunkt des Kreises ist, der die Seiten des Dreiecks tangiert, der sogenannte in das Dreieck eingeschriebene Kreis. Dies ist der größte Kreis, der in das Dreieck passt.
• 

  Die Winkelhalbierenden und der in das Dreieck eingeschriebene Kreis

• Im Dreieck △ABC ist AA' die Winkelhalbierende ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ^∠BAC / ₂
• BB' ist die Winkelhalbierende ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ^∠ABC / ₂
• CC' ist die Winkelhalbierende ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ^∠ACB / ₂

• ---

• Die Winkelhalbierenden AA', BB' und CC' schneiden sich im Punkt O, dem Mittelpunkt des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises. Warum passiert das?

• ---

• O ist ein Punkt auf der Winkelhalbierenden AA', also hat er den gleichen Abstand von den Liniensegmenten AB und AC => [1] der Abstand vom Punkt O zum Segment AB ist OP, wobei OP ⊥ AB (⊥ ist das Symbol für senkrechte Segmente), [2] der Abstand vom Punkt O zum Segment AC ist ON, wobei ON ⊥ AC und [3] OP ≅ ON.
• O ist ein Punkt auf der Winkelhalbierenden BB', also hat er den gleichen Abstand von den Liniensegmenten AB und BC => [1] der Abstand vom Punkt O zum Segment AB ist OP, wobei OP ⊥ AB, [2] der Abstand vom Punkt O zum Segment BC ist OM, wobei OM ⊥ BC und [3] OP ≅ OM.
• Aus den obigen Beziehungen folgt OM = ON = OP = r, wobei r der Radius des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises ist

• Um den Radius des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises zu berechnen, teilen Sie die Fläche des Dreiecks durch seinen Halbumfang:
• r = ^Fläche / _s
• Dabei:
• r = Radius des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises
• s ist der Halbumfang des Dreiecks, bereits oben berechnet

• ---

• Warum diese Formel? Wie beweisen wir es?
• Die Fläche des Dreiecks △ABC = Fläche △OAB + Fläche △OBC + Fläche △OAC = ¹/₂ × OP × AB + ¹/₂ × OM × BC + ¹/₂ × ON × AC = ¹/₂ × r × AB + ¹/₂ × r × BC + ¹/₂ × r × AC = ¹/₂ × r × (AB + BC + AC) = ¹/₂ × r × Umfang = ^Umfang/₂ × r = Halbumfang × r =>
  r = ^Fläche / _Halbumfang = ^Fläche / _s

• ---

• r = ^{62,35382907248} / ₁₈ ≈ 3,464101615138 ≈ 3,46

• Einführung

• Die Mittelsenkrechte eines Segments ist die Linie senkrecht zum Segment, die durch dessen Mitte verläuft. Jeder Punkt, der zur Mittelsenkrechten gehört, ist von den Enden des Segments gleich weit entfernt.
• 

  Die Mittelsenkrechten und der Umkreis des Dreiecks

• In jedem Dreieck treffen die Mittelsenkrechten der Seiten in einem Punkt zusammen, der der Mittelpunkt des Kreises ist, der durch die Eckpunkte des Dreiecks verläuft und als umschriebener Kreis des Dreiecks bezeichnet wird.
• Im Dreieck △ABC ist OM1 die Mittelsenkrechte des Segments BC => BM1 = CM1 = ^BC / ₂ = ^a / ₂, wobei „a“ die Länge des Segments BC ist.
• OM2 ist die Mittelsenkrechte des Segments AC => AM2 = CM2 = ^AC / ₂ = ^b / ₂, wobei „b“ die Länge des Segments AC ist.
• OM3 ist die Mittelsenkrechte des Segments AB => AM3 = BM3 = ^AB / ₂ = ^c / ₂, wobei „c“ die Länge des Segments AB ist.

• ---

• Die Mittelsenkrechten OM1, OM2 und OM3 schneiden sich im Punkt O, dem Mittelpunkt des umschriebenen Kreises des Dreiecks. Warum passiert das?

• ---

• O ist ein Punkt auf der Mittelsenkrechten OM1 => BM1 = CM1 = ^a/₂, OM1 ⊥ BC (⊥ ist das Symbol für Segmente oder senkrechte Linien) und OM1 gemeinsames Segment => rechtwinklige Dreiecke △OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC.
• O ist ein Punkt auf der Mittelsenkrechten OM2 => AM2 = CM2 = ^b/₂, OM2 ⊥ AC und OM2 gemeinsames Segment => rechtwinklige Dreiecke △OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC.
• Aus den obigen Beziehungen folgt OA = OB = OC = R, wobei R der Radius des Kreises ist, der das Dreieck umschreibt.

• Um R, den Radius des das Dreieck umschreibenden Kreises, zu berechnen, wenden Sie die Formel an:
• R = ^{a × b × c} / _{(4 × Fläche)}
• Dabei:
• a, b und c sind die Längen der drei Seiten des Dreiecks

• ---

• Warum diese Formel? Wie beweisen wir es?
• Der Sinussatz legt die Beziehung zwischen den Längen der Seiten a, b und c eines Dreiecks, zum Beispiel △ABC, und den Sinuswerten der entgegengesetzten Winkel ∠A, ∠B und ∠C fest:
• [1] ^a/_sin(∠A) = ^b/_sin(∠B) = ^c/_sin(∠C) = 2 × R
• R ist der Radius des umschriebenen Kreises des Dreiecks △ABC.
• Bei der Berechnung der Fläche verwenden wir auch die Trigonometrische Formel für die Fläche, die wir oben bewiesen haben:
• [2] Fläche = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)

• ---

• Aus Beziehung [1] können wir Folgendes ableiten:
• [3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}
• Ersatz für sin(∠A) in der Beziehung [2]:
• Fläche = ¹/₂ × b × c × ^a/_{(2 × R)} = ^{a × b × c}/_{(4 × R)} =>
• R = ^{a × b × c}/_{(4 × Fläche)}

• ---

• R = ^{12 × 12 × 12}/_{(4 × 62,35382907248)} ≈ 6,928203230275 ≈ 6,93

• 

  Das Dreieck △ABC mit Seitenlängen: BC (a) = 12, AC (b) = 12, AB (c) = 12

Verwendete Symbole: + Ergänzung, - Subtraktion, × Multiplikation, / Abteilung, = gleich, ≈ ungefähr, => logische Implikation, ∠ Winkel, ∡ gemessener Winkel, m(∡A) Winkelmaß, △ Dreieck, ⌒ Kreisbogen, ⊥ senkrecht, ≅ Kongruenz, π das konstante Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser dar, ° Einheit des gemessenen Werts eines Winkels und wird Grad genannt, ∈ es gehört dazu, x² x hoch zur zweiten Potenz oder x im Quadrat = x × x, sin(∠A) Sinus des Winkels A, cos(∠A) Kosinus des Winkels A, arccos(ratio) Arkuskosinus des gegebenen Verhältnisses.

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