Wie löst man ein Dreieck, wenn man die Längen seiner drei Seiten kennt?
Was ist ein Dreieck?
- Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte A, B und C. Die Menge, die von diesen drei Punkten zusammen mit den Punkten der Strecken AB, BC und CA gebildet wird, nennt man das Dreieck, das durch die Punkte A, B und C bestimmt wird. Siehe die Abbildung mit der Darstellung des Dreiecks △ABC.
Dreieck △ABC - Ein Dreieck ist eine Menge von Punkten in der Ebene, die ein Polygon bilden, das drei Eckpunkte (A, B, C), drei Seiten (AB, BC, CA) und drei Winkel (∠ABC, ∠BCA, ∠CAB) besitzt.
- Ein Eckpunkt, in unserem Fall A, ist der Punkt, an dem sich zwei Seiten – AB und AC – treffen. Die drei Eckpunkte A, B und C werden durch drei Strecken AB, BC und CA, die sogenannten Seiten, verbunden.
- Diese bilden drei Winkel: ∠ABC, ∠BCA und ∠CAB, deren Summe 180° beträgt (Wir demonstrieren dies weiter unten). Die Seiten des Dreiecks werden durch die Längen der drei Strecken AB, BC und CA definiert.
- Ein Dreieck wird üblicherweise durch seine Eckpunkte in alphabetischer Reihenfolge bezeichnet: △ABC. Dasselbe Dreieck kann aber auch als △ACB, △BAC, △BCA, △CAB und △CBA geschrieben werden – also unter Verwendung aller Kombinationen der drei Buchstaben.
- Im Dreieck △ABC liegt der Winkel ∠A der Seite BC gegenüber, und umgekehrt liegt die Seite BC dem Winkel ∠A gegenüber. Für die Längen der Seiten eines Dreiecks △ABC werden üblicherweise folgende Bezeichnungen verwendet: a = BC, b = CA, c = AB.
Dreieck △ABC und die Seiten a, b, c - Wenn alle drei Seiten gleich lang sind, nennt man das Dreieck ein gleichseitiges Dreieck, während ein Dreieck, in dem nur zwei Seiten gleich lang sind, ein gleichschenkliges Dreieck genannt wird. Wenn die Seiten eines Dreiecks unterschiedliche Längen haben, spricht man von einem skalenalen Dreieck.
Umfang und halber Umfang eines Dreiecks
- Umfang: Die Summe der Seitenlängen eines Dreiecks △ABC wird als Umfang des Dreiecks bezeichnet und mit:
PABC = AB + BC + CA = c + a + b notiert. - Halber Umfang: Die Hälfte der Summe der Seitenlängen eines Dreiecks △ABC wird als halber Umfang des Dreiecks bezeichnet und mit:
PABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2
Lage eines Punktes relativ zu einem Dreieck
- Ein Punkt heißt innerer Punkt eines Dreiecks, wenn er innerhalb jedes Winkels des Dreiecks liegt.
- Ein Punkt, der weder innerhalb des Dreiecks noch auf einer seiner Seiten liegt, heißt äußerer Punkt des Dreiecks.
Arten von Dreiecken in Bezug auf die Winkel
- Ein Dreieck mit einem Winkel von 90°, auch rechter Winkel genannt, wird rechtwinkliges Dreieck genannt. Wenn der rechte Winkel A ist, dann werden die Seiten, die den rechten Winkel bilden, AB und CA, Beine genannt. Die dem rechten Winkel BC gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt. Ein Dreieck kann nicht mehr als einen rechten Winkel haben – denn die Summe der drei Winkel eines Dreiecks muss 180° betragen – wenn es zwei rechte Winkel gäbe, würden diese bereits 90° + 90° = 180° betragen, sodass für den dritten Winkel nichts übrig bliebe.
Rechtwinkliges Dreieck △ABC - Ein Dreieck, das alle spitzen Winkel hat, wird spitzes Dreieck oder spitzes Skalenus genannt: ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
Spitzes ungleichseitiges Dreieck △ABC - Ein Dreieck, das einen stumpfen Winkel hat, also größer als 90°, wird stumpfes Dreieck oder stumpfes ungleichseitiges Dreieck genannt: in unserem Fall ist ∠A > 90°.
Stumpfes ungleichseitiges Dreieck △ABC - Ein Dreieck, das alle gleichen Winkel hat, auch kongruent genannt, ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°, wird als gleichseitiges Dreieck bezeichnet. In einem gleichseitigen Dreieck sind auch alle Seiten deckungsgleich: AB ≅ BC ≅ CA.
Gleichseitiges Dreieck △ABC - Ein Dreieck, das nur zwei kongruente Winkel hat, zum Beispiel ∠B ≅ ∠C, wird als gleichschenkliges Dreieck bezeichnet. In einem gleichschenkligen Dreieck sind auch die gegenüberliegenden Seiten der kongruenten Winkel deckungsgleich. Die dritte Seite des gleichschenkligen Dreiecks wird als Basis des gleichschenkligen Dreiecks bezeichnet.
Gleichschenkliges Dreieck △ABC
Spezifische Regeln für Dreiecke
- 1. Die Summe der Winkelmaße in einem Dreieck beträgt immer 180°. Siehe die nächste Abbildung und den zugehörigen Beweis.
- Sei △ABC ein Dreieck. Wir konstruieren die Parallele d durch A zu BC und die auf der Geraden d liegenden Punkte D und E, wie in der Abbildung. Die Punkte D, A und E liegen auf derselben Linie und sind kollinear. Also DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB – alternative Innenwinkel für DE ∥ BC und Sekante AB und (2) ∠ACB ≅ ∠CAE – alternative Innenwinkel für DE ∥ BC und Sekante AC. Aus (1) und (2) erhalten wir die Beziehung für die Summe der Winkel im Dreieck △ABC: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
Summe der Winkelmaße in einem Dreieck - 2. In einem Dreieck muss die Summe der Längen zweier Seiten größer sein als die Länge der dritten Seite, andernfalls könnte das Dreieck nicht konstruiert werden. In der nächsten Abbildung können Sie sehen, dass die Länge der Seite a größer ist als die Summe der Längen von b und c: a > b + c. In diesem Fall kann das Dreieck △ABC überhaupt nicht konstruiert werden.
Unmögliches Dreieck: Seiten - 3. Ein Dreieck kann nur einen Winkel haben, der größer oder gleich 90° ist. Wenn ein Dreieck zwei Winkel von mindestens 90° hätte, wäre für den dritten Winkel gemäß Regel Nr. nichts mehr übrig. 1. Da in unserem Fall ∡B = 90° und ∠C > 90°, die Seiten b und c können sich nicht treffen, um den Scheitelpunkt A des Dreiecks △ABC zu bilden.
Umögliches Dreieck: Winkel 
Außenwinkel4. Der Winkel, der an einen Winkel des Dreiecks angrenzt und diesen ergänzt, wird als Außenwinkel des Dreiecks bezeichnet. Jedes Dreieck hat drei Außenwinkelpaare, also insgesamt sechs Außenwinkel. Jeder Winkel des Dreiecks hat zwei zueinander kongruente Außenwinkelpaare, die an der Spitze entgegengesetzt sind: Winkel ∠A hat zwei Außenwinkel ∠1 und ∠2 – wobei ∠1 ≡ ∠2, Winkel ∠C hat zwei Außenwinkel ∠3 und ∠4 – wobei ∠3 ≡ ∠4 und Winkel ∠B hat zwei Außenwinkel ∠5 und ∠6, wobei ∠5 ≡ ∠6.
Das Maß eines Außenwinkels eines Dreiecks ist gleich der Summe der Maße der nicht angrenzenden Winkel, da ∠A + ∠B + ∠C = 180° und ∠A + ∠1 = 180°, daraus folgt: ∡1 = 180° - ∠A und ∡1 = ∠B + ∠C; ebenso ∡2 = 180° - ∠A und ∡2 = ∠B + ∠C; ∡3 = 180° - ∠C und ∡3 = ∠A + ∠B; ∡4 = 180° - ∠C und ∡4 = ∠A + ∠B; ∡5 = 180° - ∠B und ∡5 = ∠A + ∠C; und schließlich ∡6 = 180° - ∠B und ∡6 = ∠A + ∠C.
Die Summe der Maße aller Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.
- 5. Was auch immer ein Dreieck mit zwei nicht kongruenten Seiten ist, der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber. Wenn: a > b und a > c, dann ∠A > ∠B und ∠A > ∠C.
Größere gegenüberliegende Seite mit größerem Winkel
Wie löst man das Dreieck, wenn man die Längen seiner drei Seiten kennt?
- Wenn man die Längen a, b und c der drei Seiten eines Dreiecks △ABC kennt, wobei a der gegenüberliegende Seitenwinkel ∠A, b der gegenüberliegende Seitenwinkel ∠B und c der gegenüberliegende Seitenwinkel ∠C ist, kann jeder Winkel mithilfe der folgenden Formeln berechnet werden.
Die neu geordnete Form des Kosinusgesetzes (oder der Kosinusregel)
- Diese Formel wird verwendet, um das Maß eines Winkels in einem beliebigen Dreieck zu berechnen, wenn Sie die Längen aller drei Seiten kennen:
- ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
- ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
- ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
- Beispiel: Die Seiten eines Dreiecks kennen, a = 7, b = 5 and c = 9, Berechnen Sie die Winkel ∡A, ∡B und ∡C des Dreiecks:
- ∡A =
arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
arccos((25 + 32)) / 90) =
arccos(57/90) =
arccos(0.6333) =
0.88498643446628 Bogenmaß =
50.705987621249 Grad - ∡B =
arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
arccos((49 + 56)) / 126) =
arccos(105/126) =
arccos(0.8333) =
0.58574584298534 Bogenmaß =
33.560764670393 Grad - ∡C =
arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
arccos((49 + -56)) / 70) =
arccos(-7/70) =
arccos(-0.1) =
1.6709637479565 Bogenmaß =
95.739170477267 Grad - Überprüfen Sie, ob die Summe der Winkel ∡A + ∡B + ∡C = 180° ist.
- ∡A = 50.705987621249°
∡B = 33.560764670393°
∡C = 95.739170477267°
∡A + ∡B + ∡C =
50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
180.00592276891° ≈ 180°